S , an - Cs - 73 - 365 a Automatic Program Verification I : Logical Basis and Its Implementation by Shigeru Igarashi Ralph

D e f i n i n g t h e s e m a n t i c s o f p r o g r a m m i n g l a n g u a g e s b y a x i o m s a n d r u l e s o f i n f e r e n c e y i e l d s a d e d u c t i o n s y s t e m w i t h i n w h i c h p r o o f s may be g i ven t h a t p r o g r a m s s a t i s f y specificati’ons, T h e d e d u c t i o n s y s t e m h e r e i n i s s h o w n t o b e c o n s i s t e n t a n d a l s o deduc t i on c o m p l e t e .wi th r e s p e c t t o Hoare’s s y s t e m . A s u b g o a l e r f o r t h e d e d u c t i o n s y s t e m i s d e s c r i b e d w h o s e i n p u t i s a s i g n i f i c a n t s u b s e t o f Pasta I p r o g r a m s p l u s i n d u c t i v e a s s e r t i o n s . T h e o u t p u t i s a s e t o f v e r i f i c a t i o n c o n d i t i o n s o r l e m m a s t o b e p r o v e d , Severa I n o n t r i v i a l a r i t h m e t i c a n d s o r t i n g p r o g r a m s h a v e b e e n s h o w n t o s a t i s f y s p e c i f i c a t i o n s b y u s i n g a n i n t e r a c t i v e t h e o r e m p r o v e r t o a u t o m a t i c a l l y g e n e r a t e p r o o f s o f t h e v e r i f i c a t i o n condi t ions, A d d i t i o n a l c o m p o n e n t s f o r a m o r e p o w e r f u l v e r i f i c a t i o n s y s t e m a r e u n d e r c o n s t r u c t i o n . A u t h o r s ’ a d d r e s s e s : I g a r a s h i , R e s e a r c h I n s t i t u t e f o r M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s , K y o t o U n i v e r s i t y , K y o t o 6 0 6 , J a p a n ; L o n d o n , U S C I n f o r m a t i o n S c i e n c e s I n s t i t u t e , 4 6 7 6 A d m i r a l t y W a y , M a r i n a Del R e y , C a l i f o r n i a 9 0 2 9 1 ; Luckham, C o m p u t e r S c i e n c e D e p a r t m e n t , S t a n f o r d U n i v e r s i t y , S t a n f o r d , C a l i f o r n i a 94385. T h i s r e s e a r c h i s s u p p o r t e d b y t h e A d v a n c e d R e s e a r c h P r o j e c t s A g e n c y u n d e r C o n t r a c t s S D 1 8 3 a n d D A H C 1 5 7 2 C 0 3 0 8 , a n d b y t h e N a t i o n a l A e r o n a u t i c s a n d S p a c e A d m i n i s t r a t i o n u n d e r C o n t r a c t N S R 0 5 0 2 0 5 0 0 . T h e v i e w s a n d c o n c l u s i o n s c o n t a i n e d i n t h i s d o c u m e n t a r e t h o s e o f t h e a u t h o r s a n d s h o u l d n o t b e i n t e r p r e t e d a s n e c e s s a r i l y r e p r e s e n t i n g t h e o f f i c i a l p o l icies, e i t h e r e x p r e s s e d o r i m p l i e d , o f A R P A , N A S A , o r t h e U . S . G o v e r n m e n t . R e p r o d u c e d i n t h e U S A , A v a i l a b l e f r o m t h e N a t i o n a l T e c h n i c a l I n f o r m a t i o n S e r v i c e , S p r i n g f i e l d , V i r g i n i a 22151. AUTOMATIC PROGRAM VERIFICATION I: A LOGICAL BASIS AND ITS IMPLEMENTATION bY S h i g e r u I g a r a s h i , R a l p h L. L o n d o n , a n d D a v i d C, Luckham 1 . INTRODUCTION V e r i f y i n g t h a t a c o m p u t e r p r o g r a m i s c o r r e c t h a s b e e n d i s c u s s e d i n many r e c e n t pub1 i c a t i o n s , f o r example [Hoare 1 9 6 9 , K i n g 1 9 6 9 , M c C a r t h y a n d P a i n t e r 19671. T h e “ v e r i f i c a t i o n prob I em” has bec0m.e “ c o r r e c t n e s s prob I em” o r p o p u l a r e s s e n t i a l l y b e c a u s e i t r e p r e s e n t s a s i g n i f i c a n t f i r s t s t e p t o w a r d s w r i t i n g p r o g r a m s t h a t c a n b e g u a r a n t e e d t o d o w h a t t h e i r a u t h o r s i n t e n d e d . T h e r e a r e s e v e r a l d i f f e r e n t i n t e r p r e t a t i o n s o f e x a c t l y w h a t i t m e a n s , H e r e , w e a d o p t t h e p o i n t o f v i e w that a p r o g r a m h a s b e e n “ver i f ied” w h e n i t i s p r o v e d w i t h i n a s y s t e m o f l o g i c t o b e c o n s i s t e n t w i t h d o c u m e n t a t i o n , i.e. a s t a t e m e n t o f w h a t i t i s s u p p o s e d t o d o . O u r d i s c u s s i o n i s r e s t r i c t e d t o p r o g r a m s t h a t c a n b e w r i t t e n i n a v e r y p r e c i s e m o d e r n p r o g r a m m i n g langage, P a s c a l [Wirth 1 9 7 1 1 . O f c o u r s e , w e d o n o t d e a l w i t h a l l P a s c a l p r o g r a m s , b u t w i t h a s u b s e t t h a t i s r i ch e n o u g h t o i n c l u d e pub1 ished a I gor i t hms s u c h a s F I N D [Hoare 1371b1, TREESORT [ F l o y d 1 9 6 4 3 , a n d a s i m p l e c o m p i l e r EMcCar t hy a n d P a i n t e r 1 9 6 7 1 . S i n c e P a s c a l i s a n A l g o l l i k e l a n g u a g e w e e x p e c t t h a t w h a t i s d o n e h e r e c a n b e r e p e a t e d w i t h o u t m u c h e f f o r t for Algol or o t h e r s u c h I a n g u a g e s . W e a d o p t a D O C U M E N T A T I O N L A N G U A G E t h a t i s r o u g h l y s p e a k i n g t h e l a n g u a g e o f q u a n t i f i e d A l g o l B o o l e a n e x p r e s s i o n s , (i.e. f i r s t o r d e r number t h e o r y w i t h d e f i n i t i o n a l e x t e n s i o n and some n o t a t i o n a l c o n v e n i e n c e s ) . I t d o e s n o t c o n t a i n any c o n s t r u c t s f o r r e p r e s e n t i n g such n o t i o n s a s t e n s e ( t i m e d e p e n d e n c y ) , p o s s i b i I i t y ( c a n d o ) , e t c . t h a t m a y w e l l p r o v e u s e f u l i n d e s c r i b i n g p r o g r a m s . S o t h e d o c u m e n t a t i o n l a n g u a g e i s a s l i g h t e x t e n s i o n o f w h a t p r o g r a m m e r s n o r m a l l y u s e t o s t a t e t h o s e c o n d i t i o n s o n c o m p u t a t i o n s t h a t c o n t r o l their p r o g r a m s , S t a t e m e n t s o f t h e d o c u m e n t a t i o n l a n g u a g e a r e c a l l e d ASSERTIONS. A d o c u m e n t e d p r o g r a m i s , f o r u s , a P a s c a l p r o g r a m i n w h i c h a s s e r t i o n s h a v e b e e n p l a c e d b e t w e e n i t s s t a t e m e n t s a t c e r t a i n p o i n t s . W e r e f e r t o s u c h p r o g r a m s w i t h d o c u m e n t a t i o n a s A S S E R T E D -PROGRAMS. T h e g e n e r a l i d e a o f h o w t o g o a b o u t v e r i f y i n g a n a s s e r t e d p r o g r a m i s t o r e d u c e t h i s p r o b l e m t o q u e s t i o n s a b o u t w h e t h e r c e r t a i n a s s o c i a t e d log.ical c o n d i t i o n s ( h e n c e f o r t h c a l l e d V E R I F I C A T I O N CONOITIONS) a r e trge o f (i.e. t h e o r e m s i n ) v a r i o u s s t a n d a r d f i r s t o r d e r t h e o r i e s . T h e u s u a l m e t h o d o f r e d u c t i o n [Flogd 1 9 6 7 1 i n v o l v e s e n u m e r a t i n g a l I p o s s i b l e p a t h s b e t w e e n a s s e r t i o n s i n t h e p r o g r a m a n d t h e n c o m p u t i n g a v e r i f i c a t i o n c o n d i t i o n f o r e a c h p a t h i n t e r m s o f o p e r a t i o n s and a s s e r t i o n s o n t h a t p a t h : t h e s e v e r i f i c a t i o n c o n d i t i o n s m u s t t h e n b e p r o v e d . S e e L o n d o n cl9721 f o r a b i bl i o g r a p h y o f e x i s t i n g p r o g r a m s f o r g e n e r a t i n g v e r i f i c a t i o n c o n d i t i o n s ,